前面刚写了三文：

——《小学六年级奥数：求阴影部分面积》

——《没有办法了，只好用初中数学方法求阴影部分面积了》

——《逆天了，求阴影部分面积居然有可能用到高中以上的数学方法》

好歹解决了三道求阴影部分面积的题目，算是对自己所学的一种宽慰。不承想，您越是关注，就越容易发现同类问题，我很想对这些题目的始作俑者嗤之以鼻，但无奈我竟如上瘾一般，脑子里始终盘旋着这些“小学题”，几乎就差那么一点，我感觉自己连一名“合格的小学生”都不如，惭愧啊……

题目如下图：

难题3

有了前面几文中解法的铺垫，我直接无视“小学”的限制，以解决问题为目标。先作下图：

图1

（一）思路分析

①S阴影＝S弓形AHE＋S弓形AGE

②S弓形AHE＝S扇形DAHE－S三角形DAE

③S弓形AGE＝S扇形FAGE－S三角形FAE

④求解圆心角∠ADE、∠AFE成为解题的关键

（二）解题过程

①易证：△ADF≌△EDF，因为：

DA＝DE＝大圆半径＝正方形边长＝4

FA＝FE＝小圆半径＝正方形边长的一半＝2

DF为公共边

满足两三角形全等的“SSS”条件。

②圆心角∠ADE＝2×∠1

圆心角∠AFE＝2×∠2

③∠1＝arctan（FA÷DA）＝arctan（2÷4）＝arctan（0.5）＝26.565051177077989351572193720453°

圆心角∠ADE＝2×∠1＝2×26.565051177077989351572193720453°＝53.130102354155978703144387440907°

∠2＝arctan（DA÷FA）＝arctan（4÷2）＝arctan（2）＝63.434948822922010648427806279547°

圆心角∠AFE＝2×∠2＝2×63.434948822922010648427806279547°＝126.86989764584402129685561255909°

④S扇形FAGE＝π×FA×FE×∠AFE÷360°

＝3.1415926535897932384626433832795×2×2×126.86989764584402129685561255909°÷360°

＝4.4285948711763620120682618407141

S三角形FAE＝FA×FE×sin（∠AFE）÷2

＝2×2×sin（126.86989764584402129685561255909°）÷2

＝1.6

S弓形AGE＝S扇形FAGE－S三角形FAE

＝4.4285948711763620120682618407141－1.6

＝2.8285948711763620120682618407141

⑤S扇形DAHE＝π×DA×DE×∠ADE÷360°

＝3.1415926535897932384626433832795×4×4×53.130102354155978703144387440907°÷360°

＝7.4183617440128978594280997033794

S三角形DAE＝DA×DE×sin（∠ADE）÷2

＝4×4×sin（53.130102354155978703144387440907°）÷2

＝6.4

S弓形AHE＝S扇形DAHE－S三角形DAE

＝7.4183617440128978594280997033794－6.4

＝1.0183617440128978594280997033794

⑥S阴影＝S弓形AHE＋S弓形AGE

＝1.0183617440128978594280997033794＋2.8285948711763620120682618407141

＝3.8469566151892598714963615440935

（三）回顾反思

本题解法主要使用了以下“超限”数学方法：

①使用三角形全等的判定条件证明：∠ADF＝∠EDF、∠AFD＝∠EFD；

②使用反正切函数arctan（）表达并计算圆心角∠AFE、∠ADE的度数；

③作用正弦定理“S＝a×b×sin（C）÷2”计算三角形FAE、DAE的面积；

④值得一提的是：四边形DAFE的面积恰为正方形ABCD面积的一半，这个问题其实相对于原题更值得探究。

让我们争做一名合格的小学生！

图2