论词项逻辑学——研读形式逻辑学笔记（6）

1，所谓词项逻辑学，如同我们第四小节里指出的，它就是研究直言命题的逻辑性质及其相互之间的推理关系的逻辑理论，叫做“词项逻辑”。它早在古希腊时期就被“逻辑之父”亚里士多德所创立，迄今为止没有经过实质性修改，依然有效。当我们对一个简单命题进行内部拆分，把它分成主项、谓项、联项、量项等不同的部分，其中主项和谓项叫做“词项”，指称一些“范畴”(categories）或“类别”(classes)，因此这样的命题叫做“直言命题”(categorical propositions）。显然，直言命题是一个主谓式命题，它断定了某个数量的对象具有或者不具有某种性质，因此也叫做“性质命题”。它的基本结构是：（量项）+主项＋（联项）+谓项。

2，这一结构形式里，量词“有的”或“有些”仅仅表示“至少有些，至多全部”，而不像日常思维里那样，有时候也表示“仅仅有些”，后者的意思比前者强，因而只适用于某些特殊情况，缺乏普遍性。而逻辑应该是一种普遍适用的工具，因此在强的解释和弱的解释之间，它通常选取弱的解释，称为“从弱原则”。于是，特称量项“有些”的意思仅仅局限于“存在”或“有”，因此特称命题又被称为“存在命题”。所以，从特称命题“有些 S 是 P ”，不能推出“有些 S 不是 P ”；同样，从“有些 S 不是 P ”，也不能推出“有些 S 是 P ”。这个是与我们日常语言里的强的意谓用法完全不同的弱的意谓用法，实际上，它就是语形上的存在命题解释里的从弱原则。当然，在存在命题里的从弱原则的量词“有的”或“有些”等，它表示的是“至少有一个，至多是全部”这么一个意思。关于单称命题与其他命题之间的对当关系推理：（1） SAP → a 是 P.这是从全称到个体的推理。（2）a 是 P → SIP.这是从个体到存在的推理。这件事情下一小节的量词逻辑学里我们会有更好的解决方案（量化公式）。

3，在词项逻辑中，当讨论直言命题推理时，单称命题常被当成全称命题的特例来理解处理。这是因为，单称命题主项的外延只有一个事物，与全称命题一样，都是对主项外延的全体进行断定，所以单称命题在一定意义下也可以看成全称命题。不过，我们说也有例外的情形。这就是，在考虑对当关系（即真假关系）时，单称命题不能作为全称命题的特例。如果涉及含同一素材的单称命题，那么传统的对当关系要稍加扩展：（1）单称肯定命题和单称否定命题是矛盾关系；（2）全称命题与同质的单称命题是差等关系；（3）单称命题与同质的特称命题也是差等关系，（4）但与不同质的特称命题是下反对关系；单称命题与不同质的全称命题是反对关系。这四条新扩展关系是应当特别注意的，否则会出现错误推理。

4，有时我们也撇开真假概念，用否定词（乛）、等值（～）把对当方阵里矛盾关系表述如下：(1) SAP ～乛 SOP；(2) SEP ～乛 SIP；(3) SIP ～乛 SEP；(4) SOP ～乛 SAP.这四个等价（真假对当值）表达式，如何理解我们也撇开真假概念呢？陈波这里的意思似乎只是说对当方阵或逻辑方阵里的对角线矛盾关系法则里，我们用否定词（乛）、等值（～）把对当方阵里矛盾关系表述出来，而暂不考虑各式的真假关系。实际上，它们还是要考虑的。否则就理解不了。如上一节命题逻辑学里的“负命题及其推理”。

5，直言命题是一个主谓式命题，它断定了某个数量的对象具有或者不具有某种性质，因此也叫做“性质命题”。这里在直言性质命题里，当我们断定了“某个数量的对象”具有或者不具有某种性质时，如果断定了一个词项的全部外延，则称它是周延的，否则就是不周延的。只有直言命题的主项和谓项才有周延与否的问题，离开直言命题的一个单独词项，无所谓周延和不周延。而且主项或谓项的周延性是由直言命题的形式决定的，是直言命题的形式性质，周延性是一个只与直言命题的形式有关、而与主项和谓项所反映的对象的实际情况无关的概念。根据词项周延性的上述定义及其解释，我们有如下结论：在直言命题中，

(1）全称命题的主项都是周延的。

(2）特称命题的主项都是不周延的。

(3）肯定命题的谓项都是不周延的。

(4）否定命题的谓项都是周延的。

周延问题在处理整个直言命题推理时是非常重要的。真言命题演绎推理是一种必然性推理，它的结论是从前提中抽引出来的，结论的真要由前提的真来保证，因而结论所断定的就不能超出前提所断定的。这一点在直言命题推理中的表现，就是要求“在前提中不周延的词项在结论中不得周延”，否则推理的有效性得不到保证，会犯各种逻辑错误。

6，由这一条周延问题，我们可以说亚里士多德以三段论为核心的词项逻辑学的推理或证明论，它的性质命题里质的肯定或否定的真假或对当关系，仅仅以其词项外延量的周延性关系为基础才是可能的和有效用的，无论是依对当关系或命题变形的直接推理，还是最典型或经典的三段论式间接推理或证明，都是如此。

7，亚里士多德传统词项逻辑学，以性质命题结构【（量项：全部、有的，单个）+主项（S，M）＋（联项：是或不是）+谓项（P，M）】为基础的三个命题之间的逻辑间接推理关系，我们可以给出这样的定义：

三段论是由一个共同词项（M）把两个直言命题（S一M或M一S与M一P或P一M）连接起来，得出一个新的直言命题（S一P）作为结论的推理。可见，三段论由三个直言命题构成，其中两个是前提，一个是结论。结论的主项叫“小项”（用 S 表示），含有小项的前提叫“小前提”；结论的谓项叫“大项”（用 P 表示），含有大项的前提叫“大前提”；两个前提共有的词项叫“中项”（用 M 表示）。

根据中项在前提中的不同位置，三段论分为四个不同的格（详见附录图示）。中项在这些格中的位置不同，也就是作为大前提和小前提的主谓项不同，因此这些前提就是由有不同的主谓项的 A、E、I、O构成的。于是，一个格共有64个可能的式，而三段论共有四个不同的格，于是三段论总共有64X4=256个可能的式。

又根据三段论规则（详见附录文的五条基本规则，它们分别涉及词项数量，周延和性质等三个方面），我们可以把大部分可能的三段论式作为无效式（256一24＝232）排除掉，例如，当前提的组合是EO或OE 等时，根据“两个否定前提不能得结论”的规则，所有带这种前提的三段论式如 EEA , EEI , EEO , EEE , EOA , EOI , EOO , EOE 等等都不可能是有效的，都应该被排除掉。类似地，当前提的组合为 l I, IO 或OI时，根据“两个特称前提不能得结论”的规则，所有带这种前提的三段论式如IIA、IIE、III、IIO、IOA、IOE、IOI、IOO等等都不是有效的，都应该被排除掉。当然，根据三段论的其他规则，还可以排除掉许多无效的三段论式，最后所剩下的三段论有效式只有24个，列表如下：

第一格

AAA，AAI *，AII，EAE，EAO*，EIO

第二格

AEE，AEO *，AOO，EAE，EAO*, EIO

第三格

AAI，AII，EAO，EIO，IAI，OAO

第四格

AAI，AEE，AEO*，EAO，EIO，IAI

其中带星号的叫做“差等式”，意思是：在两个前提都是全称的情形下，本来可以得全称结论，却根据差等关系得出了特称结论。不过，差等式也属于256个可能的式之列。

8,今天选录陈波《逻辑学十五讲（第五讲）》研读。

【更正一则】：2022年2月8日，在《论词项逻辑学——研读形式逻辑学笔记（4）》第四条里说：“例如黑格尔举通俗例子说，譬如在墙上打洞，那个所打洞的大小与其共在所含土石墙面大小的呈反比例关系，你也可以说它与所挖出土石的大小是呈正比例关系。”这里应更正为“例如黑格尔举通俗例子说，譬如在墙上打洞，那个所打洞的大小与其内所含或所能含墙面土石多少的呈反比例关系，你也可以说它与其所挖出土石的多少是呈正比例关系”。

（张满天2022年2月17日呼和浩特市玉泉区石羊桥寓所草拟。5月19日凌晨呼和浩特市银财大厦重审校后发头条）

【附录】：

第五讲｜“所有的金子都是闪光的”——直言命题及其推理

直言命题

直接推理

三段论

陈波《逻辑学十五讲》北大出版社2008年第1版正封面书影

对一个简单命题进行内部拆分，把它分成主项、谓项、联项、量项等不同的部分，其中主项和谓项叫做“词项”，指称一些“范畴”(categories）或“类别”(classes)，因此这样的命题叫做“直言命题”(categorical propositions）。 研究直言命题的逻辑性质及其相互之间的推理关系的逻辑理论，叫做“词项逻辑”，它早在古希腊时期就被“逻辑之父”亚里士多德所创立，迄今为止没有经过实质性修改，依然有效。本章将要讲授词项逻辑的基本内容——直言命题及其推理。

亚里士多德（BC384～BC322）

一、直言命题

（一）直言命题的结构和类型

直言命题是一个主谓式命题，它断定了某个数量的对象具有或者不具有某种性质，因此也叫做“性质命题”。例如：

(1）所有的玫瑰花都是带刺的。

(2）有的不是白的。

(3）秦始皇是最早统一中国的人。

(4）相对论的创立者是一位伟大的科学家。

都是逻辑学上所说的“直言命题”。

直言命题的基本结构是：

（量项）+主项＋（联项）+谓项

主项是表示直言命题所述说的对象的那个词项，它可以是表示一般对象的普遍词项，例如（1）和（2）中的“玫瑰花”和“”；也可以是表示特定对象的单独词项，如前所述，单独词项可以是专名，如（3)“秦始皇”，也可以是限定摹状词，如（4）中的“相对论的创立者”。

谓项是表示直言命题所述说的对象所具有的性质的那个词项，它可以是形容词，如“带刺的”和“白色的”；也可以是名词，如“最早统一中国的人”和“伟大的科学家”；还可以是动词，例如“有些运动员练长跑”。有些直言命题的谓项很复杂，例如：

(1）A是处于B和C之间的城市。（注：此处用字母代写城市、国名、人名等。下同，不另注）

(2）曹操是杰出的政治家、军事家和诗人。

(3）荷马是著名的古希腊剧作家或诗人。

这里，(1）中的谓项是“处于B和C之间的城市”，它不表示关系，而表示性质：只有“处于B和C之间”才是关系，当我们把它名词化为“处于B和C之间的城市”后，它已经是通过描述某个类的性质而确定无疑地指称这个类的谓词了。(2）和（3）的谓项中包含联结词结构，但在词项逻辑中我们并不处理这种结构，故一律把它们看做是表示性质的，只不过这个性质是由多个性质复合而成的复合性质罢了。

联项是连接直言命题的主项和谓项的词项，它决定直言命题的质。有两个不同的联项：“是”和“不是”。包含联项“是”的直言命题是肯定命题，包含联项“不是”的直言命题是否定命题。在自然语言中，表示肯定的联项有时可以省略，例如：“西藏，多么神奇的地方啊！”“获，美人也。”但否定的联项不能省略。

量项是表示直言命题所刻画的对象的数量或范围的词项，一般位于主项之前或之后。量项分为全称量项、特称量项和单称量项，它们反映直言命题的“量”。相应地，包含全称量项的直言命题是全称命题，包含特称量项的直言命题是特称命题，包含单称量项的命题是单称命题。

全称量项表示直言命题刻画了所述说对象的全部，其标准表达形式是“所有”，但在自然语言中，也常用“凡是”、“一切”、“全部”、“任何”、“每个”等等来表达，或者用在联项之后加“都”的办法来表达。并且，在很多时候，自然语言中的全称量项被省略，例如“人是理性的动物”,“毒蛇有毒，甚至能够致人于死地”。请看下面的例证：

(1）每一个人都会死。

(2）任何人都难免一死。

(3）人总有一死。

(4）凡人皆有死。

(5）人统统会死。

(6）没有人长生不死。

(7）难道有长生不死的人吗？!

这些命题都是在用不同的方式表达”所有的 S 都是 P ”，应整理成全称命题。

特称量项表示对直言命题所述说的对象有所陈述，但没有明确地对其全部对象作出陈述，其标准表达形式是“有”、“有的”或“有些”。特称量项一般不能省略、因为省略后该命题会被误当做全称命题，例如“有些人是自私的”不能省略为“人是自私的”。在自然语言中，有时候也许把对象的数量或范围更加具体化一些，例如“很少”、“几个”、“一半”、“许多”、“大多数”、“绝大多数”、“几乎全部”、“不都是”（等于“有些……不是）等等。

需要强调的是，量词“有的”或“有些”仅仅表示“至少有些，至多全部”，而不像日常思维中那样，有时候也表示“仅仅有些”，后者的意思比前者强，因而只适用于某些特殊情况，缺乏普遍性。而逻辑应该是一种普遍适用的工具。因此在强的解释和弱的解释之间，它通常选取弱的解释，称为“从弱原则”。于是，特称量项“有些”的意思仅仅局限于“存在”或“有”，因此特称命题又被称为“存在命题”。所以，从特称命题“有些 S 是 P ”，不能推出“有些 S 不是 P ”；同样，从“有些 S 不是 P ”，也不能推出“有些 S 是 P ”。例如：

(1）有许多科学尚无法解释的奇异现象。

(2）A国人并不都是富人。

(3）C国仍有不少家庭在贫困线上挣扎。

(4）贪污腐败的官员是存在的。

都表达特称命题。(1)、(2）和（4）表达“有些 S 是 P ”，(3）表达“有些 S 不是P”。

单称命题由充当主项的专名和摹状词来表达单称性。有时候，单称命题也会用到普遍词项，例如“杯子”、“狗”，为了表达单称性，常常在这些普遍词项之前加指示代词“这个”、“那个”。例如，下面都是单称命题：

(1）HSHi是五四新文化运动的一位领袖人物。（注：这里用汉语拼音首字母代写人名。下同，不另注）

(2）据说，《新工具》的作者在道德方面很成问题。

(3）这只杯子是一个很有价值的古董。

(4）那条狗简直发疯了，整天狂吠不已。

在分析直言命题的结构时，如果主项是普遍词项，通常用大写字母S表示：如果主项是单称词项，即专名和摹状词，则用小写字母 a 表示。谓项始终用大写字母 P 表示。根据所含的联项和量项的不同，可以把直言命题分为以下六种类型：

全称肯定命题：所有 S 都是 P 。

全称否定命题：所有 S 都不是 P 。

特称肯定命题：有的 S 是 P 。

特称否定命题：有的 S 不是 P 。

单称肯定命题： a 是 P 。

单称否定命题： a 不是 P 。

请看下面的例证：

A ：所有的熊猫都是珍稀动物。

E ：所有的英雄都不是懦夫。

I ：有的哺乳动物是卵生的。

O ：有的A国人不是基督徒。

单称肯定：曹雪芹是一位伟大的作家。

单称否定；刘阿斗不是一位合格的皇帝。

在词项逻辑中，当讨论直言命题推理时，单称命题常被当成全称命题的特例。这是因为，单称命题主项的外延只有一个事物，与全称命题一样，都是对主项外延的全体进行断定，所以单称命题在一定意义下也可以看成全称命题。（不过，后面会说到，也有例外的情形。）于是，词项逻辑所研究的直言命题就只剩下全称肯定、全称否定、特称背定和特称否定这四种形式，它们被缩写为 SAP 、 SEP 、 SIP、SOP，其中的 A 、 E 、I、 O 分别来自拉丁文 AffIrms （肯定）和 nEgO ( 否定）中的元音字母，相应的这四种直言命题亦被缩写为 A ，E，I，O。

在日常语言中，直言命题的表达可能很不规范，因此在进行逻辑分析时，遇到不规范的直言命题，应先将其整理成规范形式，然后进行其他步骤，以免出错。例如，“没有负数是大于1的”，等于说“所有负数都不是大于1的”，应整理为 E 命题。“大鹅不都是白的”，等于说“有的不是白的”，应整理成O命题。另外，像”只有 S 才 P ”、“除 S 之外都不是 P ”这样的命题，例如“只有年满18岁的公民才有投票权”,“除了勇敢的人外都不值得公平对待”，第一句应被翻译为”所有有投票权的公民都是年满18岁的公民”,第二句应被翻译为“所有值得公平对待的人都是勇敢的人”。

（二）直言命题间的对当关系

直言命题之间的对当关系，是指有相同素材（即有相同主项和谓项）的直言命题间的真假关系。如果没有相同的主谓项，则无法比较它们的真假。例如．我们可以比较“所有的都是白色的”与“有的不是白色的”之间的真假关系，但我们无法比较“所有的姑娘都是漂亮的”和“有些小伙子是聪明的”之间的真假关系。

一个直言命题不过是对于其主项和谓项之间的外延关系的一种断定，其真假也取决于这种外延关系，可列表表示如下：

可以把A、E、I、O之间的真假关系概括为四类，即反对关系、矛盾关系、差等关系和下反对关系。分述如下：

1．反对关系

指 A 与 E 之间的关系，它们之间不能同真，但可以同假。于是，若一个为真，则另一个必为假；若一个为假，则另一个真假不定。例如，已知“所有的科学家都不是思想懒汉”为真，可以逻辑地推知“所有的科学家都是思想懒汉”为假；但从“所有奇数都能被3整除”为假，却不能逻辑地推知“所有的奇数都不能被3整除”究竟是真还是假。

2．矛盾关系

指 A 与O、 E 与 I 的关系，它们之间既不能同真，也不能同假，因而必有一真，也必有一假。于是，由一个为真，就可以推出另一个为假；由一个为假，就可以推出另一个为真。例如，由“所有股票投资者都是百万富翁”为假，可以逻辑地推出“有些股票投资者不是百万富翁”为真；由“有的哺乳动物是卵生的”为真，可以逻辑地推出“所有哺乳动物都不是卵生的”为假。反之亦然。

有时我们也撇开真假概念，用否定词（乛）、等值（～）把矛盾关系表述如下：

(1) SAP ～乛 SOP

(2) SEP ～乛 SIP

(3) SIP ～乛 SEP

(4) SOP ～乛 SAP

3．差等关系

亦称“从属关系”，指 A 与 I 、 E 与O之间的关系。这种关系存在于同质（同为肯定或否定）的全称命题和特称命题之间，我们可以把它概括为：

如果全称命题真，则相应的特称命题真；

如果特称命题假，则相应的全称命题假；

如果全称命题假，则相应的特称命题真假不定；

如果特称命题真，则相应的全称命题真假不定。

例如，如果”所有的玫瑰花都是带刺的”为真，则可以逻辑地推知“有些玫瑰花是带刺的”为真；如果“有些大学生是地地道道的白痴”为假，则“所有的大学生都是地地道道的白痴”为假。但是，如果“所有的乌鸦都是黑的”为假，则从逻辑上不能确切地推知“有些乌鸦是黑的”的真假；同样，如果“有的股票投资者不是亿万富翁”为真，从逻辑上也不能确切地推知“所有股票投资者都不是亿万富翁”的真假。

4．下反对关系

指 I 与 O的关系，它之间可以同真，但不能同假。于是，由一个为假， 可以逻辑地推出另一个为真；从一个为真，不能确切地知道另一个的真假。例如，已知“有些犀牛是爬行动物”为假，则可以逻辑地推知“有些犀牛不是爬行动物”为真；但从“有些教授是社会知名人士”为真，却不能逻辑地推知“有些教授不是社会知名人士”的真假。

可以用下述简图来刻画对当关系，这个图传统上被称为“对当方阵”或“逻辑方阵”。

如果已经知道三个直言命题具有对当关系中的两种关系，其中必有一种是矛盾关系，那么可以推出它们之间所具有的另一种关系。例如，已知SAP与 SEP 是反对关系， SEP 与 SIP 是矛盾关系，请推出 SAP 与 SIP 之间是差等关系。

证明：

当SAP 真时，根据反对关系， SEP 必假，再根据矛盾关系， SIP 必真。

当SAP假，根据反对关系， SEP 可真可假，再根据矛盾关系， SIP可假可真。

当SIP 真时，根据矛盾关系， SEP必假；再根据反对关系， SAP真假不定。

当 SIP 假，根据矛盾关系， SEP 必真；再根据反对关系， SAP 必假。

显然，当 SAP 真时， SIP 必真；当 SIP 假时， SAP 必假；当 SAP 假，SIP可真可假：当 SIP 真时， SAP 可真可假。所以， SAP 与 SIP 之间是差等关系。

一般把单称命题作为全称命题的特例来处理。但是，在考虑对当关系（即真假关系）时，单称命题不能作为全称命题的特例。如果涉及含同一素材的单称命题，那么以上所述的对当关系要稍加扩展：单称肯定命题和单称否定命题是矛盾关系；全称命题与同质的单称命题是差等关系；单称命题与同质的特称命题也是差等关系，但与不同质的特称命题是下反对关系；单称命题与不同质的全称命题是反对关系。这种关系可用下图刻画：

请看下面的例证：

桌子上有4个杯子，每个杯子上写着一句话。第一个杯子：“所有的杯子中都有水果糖”；第ニ个杯子：“本杯中有苹果”；第三个杯子：本杯中没有巧克力”；第四个杯子：“有些杯子中没有水果糖”。

如果其中只有一句真话，那么以下哪项为真？

A ．所有的杯子中都有水果糖。

B ．所有的杯子中都没有水果糖。

C ．所有的杯子中都没有苹果。

D ．第三个杯子中有巧克力。

E ．第二个杯子中有苹果。

第一个杯子上的话是一个全称肯定命题，其形式是“所有的 S 都是 P ”；第四个杯子上的话是一个特称否定命题，其形式是“有些 S 不是 P ”，它们两者之间是矛盾关系：其中必有一真，也必有一假。既然在上面四句话中只有一句真话，真话必在这两者之间，其他两句都是假的，于是第二个杯子中没有苹果，第三个杯子中有巧克力，但我们仍然不能确定关于第一个杯子和第四个杯子的哪一句话是真的。所以，当关于四个杯子上的话只有一句为真时，在所给定的5个选项中，我们只能确定选项 D 是真，其他几个选项都不能确定。

（三）直言命题中词项的周延性

在直言命题中，如果断定了一个词项的全部外延，则称它是周延的，否则就是不周延的。

根据这个定义，可知直言命题中词项的周延性有下述特点：

1.只有直言命题的主项和谓项才有周延与否的问题，离开直言命题的一个单独词项，无所谓周延和不周延。例如，我们可以谈论在直言命题“有些士兵是儒夫”中，词项“士兵”和“懦夫”是否周延，但无法谈论独立存在的概念“笔记本电脑”、“机器人”究竟是周延还是不周延。对于后一种情形来说，周延与否的问题根本不会出现。

2. 主、谓项的周延性是由直言命题的形式决定的，而不是相对于直言命题所断定的对象本身的实际情况而言的。例如，不论主项 S 具体代表什么，对于全称命题“所有 S 都是（或不是） P ”来说，既然其中有“所有的 S ……”出现，那么，总是断定了 S 的全部外延，因此 S 在其中是周延的；对于特称命题“有些S是（或不是） P ”来说，其中很明显只涉及 S 的一部分外延，因此 S 在其中是不周延的。不论谓项 P 具体代表什么，对于肯定命题“所有（或有些）S是P”来说，它只断定了某个数量的 S “是 P ”，并没有具体说明究竟是全部的P还是一部分P，根据逻辑上通常采取的“从弱原则”，P在其中总是不周延的：对于否定命题“所有（或有些） S 不是P”来说，该命题断定了某个数量的 S “不是 P ”，那么 P 也一定不是这个数量的S，即把所有 P 都排除在有这些 S 之外，所以 P 是周延的。

以上说明，主项或谓项的周延性是由直言命题的形式决定的，是直言命题的形式性质，周延性是一个只与直言命题的形式有关、而与主项和谓项所反映的对象的实际情况无关的概念。因此，由于在“所有的A国篮球运动员都是亿万富翁”中，主项“A国篮球运动员”前面有量词“所有的”，因而被断定了全部外延，是周延的，即使实际情况并非如此；而在“所有等边三角形都是等角三角形”中，只断定了“等边三角形”都是“等角三角形”，但并没有明确断定“等角三角形”是否都是“等边三角形”，因此谓项“等角三角形”是不周延的，即使实际情况确实如此。

根据词项周延性的上述定义及其解释，我们有如下结论：

(1）全称命题的主项都是周延的。

(2）特称命题的主项都是不周延的。

(3）肯定命题的谓项都是不周延的。

(4）否定命题的谓项都是周延的。

把这四条结论应用于 A 、 E 、I、O四种命题之上，得到下表：

周延问题在处理整个直言命题推理时是非常重要的。演绎推理是一种必然性推理，它的结论是从前提中抽引出来的，结论的真要由前提的真来保证，因而结论所断定的就不能超出前提所断定的。这一点在直言命题推理中的表现，就是要求“在前提中不周延的词项在结论中不得周延”，否则推理的有效性得不到保证，会犯各种逻辑错误。例如，从“所有的人都是动物”就不能得出“所有的动物都是人”，因为在前一命题中，“动物”是肯定命题的谓项，不周延，而在结论中它是全称命题的主项，是周延的，所以不能从前一命题推出后一命题。

二、直接推理

直接推理是从一个直言命题出发推出另一个直言命题结论的推理，分为对当关系推理和命题变形推理。

（一）对当关系推理

根据直言命题之间的对当关系进行的推理，叫做“对当关系推理”。有以下几组有效的推理形式：

1．反对关系推理

(1) SAP → 乛SEP

例如，从“所有的人都享有基本人权”，可以推出“并非所有的人都不享有基本人权”。

(2) SEP → 乛SAP

例如，从“任何人都不能两次踏进同一条河流”，可以推出“并非任何人都能够两次踏进同一条河流”。

2．差等关系推理

(1) SAP → SIP

例如，从“所有偶数都是能够被2整除的”，可以推出“有些偶数是能够被2整除的”。

(2) SEP → SOP

例如，从“没有事物是常驻不变的”，可以推出“有些事物不是常驻不变的”。

(3) 乛SIP →乛 SAP

例如，从“并非有些文盲是科学家”，可以推出“并非所有文盲是科学家”。

(4)乛 SOP →乛 SEP

例如，从“并非有些花朵不是美丽的”，可以推出＂并非所有花朵都不是美丽的”。

3．矛盾关系推理

(1) SAP → 乛SOP

例如，从“所有的人都有保护环境的义务”，可以推出“并非有些人没有保护环境的义务”。

(2) SEP → 乛SIP

例如，从“所有运动员都不是素食主义者”，可以推出“并非有些运动员是素食主义者”。

(3) SIP → 乛SEP

例如，从“有些官员是贪污腐败分子”，可以推出“并非所有的官员都不是贪污腐败分子”。

(4) SOP → 乛SAP

例如，从“有的克里特岛人不说谎”，可以推出“并非所有克里特岛人都说谎”。

(5) 乛SAP → SOP

例如，从“并非所有的公民都是偷税漏税者”，可以推出“有些公民不是偷税漏税者”。

(6) 乛SEP → SIP

例如，从“并非所有国家都没有发生疯牛病”，可以推出“有些国家发生了疯牛病”。

(7) 乛SIP → SEP

例如，从“并非有的C国公民是诺贝尔奖获得者”，可以推出“所有C国公民都不是诺贝尔奖获得者”。

(8) 乛SOP → SAP

例如，从“并非有些单身汉不是未结婚的男人”，可以推出“所有单身汉都是未结婚的男人”。

4．下反对关系

(1) 乛SIP → SOP

例如，从“并非有些鱼是能够在陆地上奔跑的动物”，可以推出“有些鱼不是能够在陆地上奔跑的动物”。

(2) 乛SOP → SIP

例如，从“并非有些金属不是导电体”，可以推出“有些金属是导电体”。

5．关于单称命题与其他命题之间的推理

（1） SAP → a 是 P

例如，从“所有自然数都是整数”，可以推出“1212是整数”。这是从全称到个体的推理。

（2）a 是 P → SIP

例如，从“张海涛是亿万富翁”，可以推出“有的C国人是亿万富翁”。这是从个体到存在的推理。

至于单称肯定命题和单称否定命题之间的推理，以及单称命题与 A 、 E 、I、O其他命题之间的推理，请读者根据前面的扩充对当关系图，自己去验证。

（二）命题变形推理

命题变形推理是由一个直言命题出发，通过改变它的形状，得到一个新的直言命题的推理。主要包括换质法、换位法和换质位法，以及这些方法的连续运用。

1．换质法

将一个直言命题由肯定变为否定，或者由否定变为肯定，并且将其谓项变成其矛盾概念，由此得到一个与原直言命题等值的直言命题，就是换质法。于是，换质法的程序和特点是：

（1）改变原命题的质，即由肯定联项改变为否定联项，或者由否定联项变为肯定联项。

（2）将原命题的谓项改变为它的矛盾概念或负概念。

（3）仍然保持原命题的量项，并且主谓项的位置也保持不变。

（4）所得到的新命题是与原命题等值的命题，其真假完全相同。

换质法有以下有效形式：

(1) SAP ～ SE乛P

例如，从“所有低科技产品都是没有高附加值的”，经过换质，可以得到“所有低科技产品都不是有高附加值的”。

(2) SEP ～ SA乛P

例如，从“所有杀人犯都不是有投票权的公民”，经过换质，可以得到"所有杀人犯都是没有投票权的公民”。

(3) SIP ～ SO乛p

例如，从“有些是黑色的”，经过换质，可以得到“有些不是非黑色的”。

(4) SOP ～ SI乛P

例如，从“有些政治家不是说谎者”，经过换质，可以得到“有些政治家是非说谎者”。

在我们的日常思维中，我们常常会遇到某个句子所表达的意思很重要，需要对它们予以强调，假如简单地重复该句子，例如将它连续说几遍或写几遍，当然不好，这时我们常常采用“换句话说”的说法。换质法就是在”换句话说”时用得着的方法。例如：

明天的会议很重要，所有员工都要出席会议，换句话说，所有员工都不能不出席，再换句话说，不准有的员工不出席。

2．换位法

将一个直言命题的主项和谓项互换位置，但让它的质保持不变，原为肯定仍为肯定，原为否定仍为否定，并相应地改变量项，由此得到一个新的直言命题，这就是换位法。于是，换位法的程序或规则是：

（1）调换原命题主谓项的位置，即将原命题的主项变成谓项，谓项变成主项；

（2）不改变原命题的质，原为肯定仍为肯定，原为否定仍为否定。

（3）在调换主谓项的位置时，在原命题中不周延的词项在结论中不得周延。

换位法有以下有效形式：

(1) SAP → PIS

例如，从“所有的植物都是需要阳光的”，可以推出“有些需要阳光的东西是植物”，但不能推出＂所有需要阳光的东西都是植物”，因为在这后一个命题中，主项“需要阳光的东西”周延，而它在前提中是不周延的，违反换位规则，不正确。这叫做“限量换位”。

(2)SEP → PES

例如，从“所有的唯物论者都不是有神论者”，可以推出“所有有神论者都不是唯物论者”。这叫做“简单换位”。

(3) SIP → PIS

例如，从“有些高科技产品创造了巨大的经济效益”，可以推出“有些创造了巨大的经济效益的（产品）是高科技产品”。这也是“简单换位”。

(4) SOP 不能换位，因为 SOP 换位为 POS , S 就由特称命题的主项（不周延）变为否定命题的谓项（周延）了，违反换位规则，有可能由真命题得到假命题。例如，从真命题“有些人不是大学生”，若换位就会得到假命题“有些大学生不是人”。

经换位法得到的新命题，并不一定与原命题等值，在很多情况下是不等值的，例如限量换位。

3．换质位法

对一个直言命题先换质，再换位，由此得到一个以原命题的谓项的矛盾概念为主项的新的直言命题，这就是换质位法。换质位法是换质法和换位法的相继运用，当然要分别遵守它们的程序和规则。有以下有效形式：

(1) SAP → SE乛P → 乛PES

例如，从“所有未经反省的人生都是没有价值的”，先换质，得到“所有未经反省的人生都不是有价值的”，再换位，得到“所有有价值的人生都不是未经反省的”。

(2) SEP → SA乛P → 乛PIS

例如，从“不想当元帅的士兵不是好士兵”，先换质，得到“不想当元帅的士兵都是不好的士兵”，再换位，得到＂有些不好的士兵是不想当元帅的士兵”。

(3) SIP 不能换质位，因为换质后得到 SO乛P ，而 SO乛P 不能换位。

(4) SOP → SI乛P → 乛PIS

例如，从“有些科学家不是受过正规高等教育的”，先换质，得到“有些科学家是未受过正规高等教育的”，再换位，得到“有些未受过正规高等教育的人是科学家”。

实际上，换质法和换位法可以结合进行，只要在换质、换位时遵守相应的规则即可。可以先换质，再换位，再换质，再换位……从一个全称命题出发，经过连续的换质位，得到一个同质同量、以原命题谓项的矛盾概念为主项、以原命题主项的矛盾概念为谓项的直言命题，这种方法被称为“戻换法”。例如，从“有生者必有死”，经过连续的换质位，得到“凡无死者必无生”；从“凡有烟处必有火”，经过连续的换质位，得到“凡无火处必无烟”。也可以先换位，再换质，再换位，再换质……例如，从“所有的植物都是含叶绿素的”，先换位，得到“有些含有叶绿素的东西是植物”，再换质，得到“有些含有叶绿素的东西不是非植物”。

回答下面这个题，需要同时考虑对当关系推理和命题变形推理：

北京大学的学生都是严格选拔出来的。其中，有些学生是CPC（注:这里用英文缩写代专名。下同，不另注）的成员，但所有学生都不是MZDP的成员（注：这里用现代汉语拼音自字母代写专名。下同，不另注）；有些学生学理科，有些学生学文科；很多学生爱好文学；有些学生今后将成为杰出人士。

以下命题都能够从前提推出，除了：

A． 并非所有北大学生都不是CPC。

B ．有些非MZDP成员不是非北大学生。

C ．并非所有学文科的都是非北大学生。

D ．有些今后不会成为杰出人士的人不是北大学生。

E ．有些北大学生是非MZDP成员。

选项A可以根据对当关系推理，从“有些北大学生是CPC的成员”推出来；选项B可以通过连续的换质位，从“所有北大学生都不是MZDP的成员”推出来；从“有些北大学生学文科”出发，通过连续的换位质，可以推出“有些学文科的不是非北大学生”，再根据对当关系，可以推出选项 C ；从“所有北大学生都不是MZDP的成员”出发，先换质，再根据对当关系推理，可以推出选项E。从“有些北大学生今后将成为杰出人士”出发，经过换质，可以推出“有些北大学生不是今后不会成为杰出人士的人”，而后者不能再换位为选项 D 。所以，正确答案是 D 。

三、三段论

（一）三段论的定义 格与式

三段论是由一个共同词项把两个直言命题连接起来，得出一个新的直言命题作为结论的推理。例如：

所有成功人士都是专心工作者。

所有专心工作者都不是心猿意马者，

所以，所有心猿意马者都不是成功人士。

就是一个三段论推理。

顾名思义，三段论由三个直言命题构成，其中两个是前提，一个是结论。结论的主项叫“小项”（用 S 表示），含有小项的前提叫“小前提”；结论的谓项叫“大项”（用 P 表示），含有大项的前提叫“大前提”；两个前提共有的词项叫“中项”（用 M 表示）。在上例中，“心猿意马者”是小项，“成功人士＂是大项，“专心工作者”是中项。相应地，“所有成功人士都是专心工作者”是大前提，“所有专心工作者都不是心猿意马者”是小前提，“所有心猿意马者都不是成功人士”是结论。

根据中项在前提中的不同位置，三段论分为四个不同的格，可分别表示如下：

需要指出的是，日常思维中所表述的三段论常常是不那么标准的，往往需要做一些调整工作，其方法是：(1）区分结论和大、小前提；(2）按大前提、小前提、结论的顺序，调整三段论中三个直言命题的位置；(3）确定大、小前提和结论的命题类型，并写出它们的标准形式。例如：

在作案现场的不都是作案者。因为有些在作案现场的没有作案动机，而作案者都有作案动机。

这个三段论的结论是“在作案现场的不都是作案者”，化为标准形式，即“有些在作案现场的（人）不是作案者”，其中“在作案现场的（人）”是小项，“作案者”是大项，“有作案动机（的人）”是中项。相应地，“有些在作案现场的（人）没有作案动机”是小前提，“作案者都有作案动机”是大前提。经这样整理后，它的形式结构是：

所有 P 都是 M

有些 S 不是 M

所以，有些 S 不是 P

因此，它是第二格的三段论。

根据组成三段论的三个直言命题的质与量，三段论有不同的式。在本节开头的那个三段论中，大前提是A命题，小前提是E命题，结论也是E命题，因此该三段论是 AEE式。再如，“所有的人都是有死的，苏格拉底是人，所以，苏格拉底是有死的”，这个三段论是 AAA 式，因为在三段论中，单称命题可以作为同质的全称命题的特例来处理。

那么，三段论总共有多少可能的式呢？一个三段论，它的大前提可以是A、E、I、O；当它的大前提是 A 时，它的小前提可以是 A、E、I、O；当它的大前提是A、小前提是 A 时，它的结论可以是 A、E、I、O 。这也就是说，三段论大、小前提以及结论的可能的排列组合可以是：4X4X4=64个可能的式。详列如下：

如前所述，三段论有四个不同的格，中项在这些格中的位置不同，也就是作为大前提和小前提的主谓项不同，因此这些前提就是由有不同的主谓项的 A、E、I、O构成的。于是，一个格共有64个可能的式，而三段论共有四个不同的格，于是三段论总共有64X4=256个可能的式。

那么，究竟如何判定如此众多的三段论式是不是有效的呢？并且哪些是有效式，哪些不是有效式？当然有很多的方法，本书只讲解下面两种方法：

(1）规则判定法，即先给出三段论必须遵守的一些推理规则，然后根据这些规则去判定一个具体的三段论是否有效。

(2）图解判定法，即用欧拉图（或文恩图）去判定一个三段论是否有效。因为组成三段论的都是直言命题，于是可用欧拉图去表示这三个直言命题中词项的相互关系，实际上也就是大项、中项和小项之间的外延关系。如果使三段论的两个前提为真的欧拉图也一定使该三段论的结论为真，则这个三段论就是有效的；反之，如果使三段论的两个前提为真的欧拉图有可能使该三段论的结论为假，则它的结论就不是必然得出的，该三段论因此也是无效的。正是在这种意义上，可以说欧拉图为判定三段论是否有效提供了一种工具或方法。例如：

所有的绿叶植物（M）都是富含维生素的（P)，所有的菠菜（S）都是绿叶植物，所以，所有的波菜都是富含维生素的。

这个三段论可以图解为：

使得其前提为真的图解也使得其结论为真，所以，该三段论是有效的三段论。

（二）三段论的一般规则

一个三段论要成为有效推理，就必须遵守一些推演规则。推演规则分为一般规则和特殊规则。一般规则是对于三段论的四个格都适用的规则，有以下几条：

规则1 在一个三段论中，有且只能有三个不同的词项。

这条规则实际上是三段论定义中的应有之义。如前所述，三段论由三个直言命题组成，每个直言命题含有两个词项，即主项和谓项，因而共有六个词项。但由于结论的主项和小前提的一个词项相同，结论的谓项与大前提的一个词项相同，两个前提中还有一个共同的中项，因此不同的词项只能有三个。三段论实际上是通过中项分别与大项和小项发生的关系，从而推导出关于小项与大项之间关系的结论。若没有中项，就失去了连接大项和小项的桥梁或媒介，推不出任何确定的结论来。违反这条规则所犯的逻辑错误叫做“四词项错误”。

明显犯“四词项错误”的情形很少，例如，人们一般不会从“地球是圆的”和“教室是方的”这两个命题推出任何结论来。常见的违反这条规则的情形是：在大、小前提中作为中项的语词看起来是同一个，但却表达着两个不同的概念，因而这个三段论事实上含有四个不同的词项，也就没有连接大项和小项的中项，不能必然地得出结论。例如：

莎士比亚戏剧不是一天能读完的，《哈姆雷特》是莎士比亚戏剧，所以，《哈姆雷特》不是一天能读完的。

在这个三段论的前提中，作为中项的“莎士比亚戏剧”有不同的意义，在大前提中是指莎士比亚戏剧的全体，而在小前提中是指沙士比亚的一篇戏剧，实际上表达了两个不同的概念，因而不能起桥梁或媒介作用，不能必然地推导出结论。该三段论犯了“四词项错误”。

规则2 中项在前提中至少要周延一次。

如前所述，三段论是凭借中项在前提中的桥梁、媒介作用得出结论的，即大项、小项至少有一个与中项的全部发生关系，另一个与中项的部分或全部发生关系，如此才能保证大、小项之间有某种关系。否则，假如大、小项都只与中项的一部分发生关系，就有可能大项与中项的这个部分发生关系，而小项与中项的另一个部分发生关系，结果是大项和小项之间没有确定的关系，得不出必然的结论来。违反这条规则所犯的逻辑错误称为“中项不周延”。例如：

所有的艺术品都有审美价值，有些自然物品具有审美价值，因此，有些自然物品也是艺术品。

在这个三段论中，中项“具有审美价值（的东西）”两次都是作为肯定命题的谓项，因而都是不周延的，违反规则2，不能必然地得出结论。用欧拉图来表示，使前提为真的欧拉图有可能使结论为假：

规则3 在前提中不周延的词项，在结论中不得周延。

三段论是一种演绎推理，其前提的真要保证结论的真，因此结论所断定的就不能超出前提所断定的。具体就周延问题来说，如果一个词项在前提中不周延，但在结论中周延了，即结论所断定的超出了前提所断定的，结论真就不能由前提真来保证，就有可能出现前提真而结论假的情况，整个推理因此就不是有效的。因此，一个三段论要成为有效的，它的在前提中不周延的词项在结论就不能周延。违反这条规则所犯的逻辑错误叫做“周延不当”，具体有“小项周延不当”和“大项周延不当”两种形式。例如：

所有想出国留学的人都要学好外语，我又不想出国留学，所以，我不必学好外语。

在这个三段论推理中，大前提是一个肯定命题，因而大项“要学好外语”在大前提中不周廷。但结论是一个否定命题，大项“要学好外语”在结论中周延。因此，这个三段论犯了“大项不当周延”的逻辑错误，无效。

应当注意的是，规则3只是说在前提中不周延的项在结论中不得周延，并没有说在前提中周延的项在结论中也必须周延。既然对前提中周延的项没有提出要求，这就意味着：在前提中周延的项，在结论中可以周延，也可以不周延。这两种情形在逻辑上都是允许的，不会导致任何逻辑错误。这是因为演绎推理不允许结论断定得比前提多，但允许结论断定得比前提少。

规则4 从两个否定前提推不出任何确定的结论。

如果两个前提都是否定的，这就意味着大项和小项都与中项发生否定性的联系，这样就不能保证大项和小项由于与中项的同一个部分发生关系而彼此之间发生关系，中项起不到连接大、小项的桥梁作用，大项和小项本身就可能处于各种各样的关系之中，从而得不出确定的结论。例如：

所有的基本粒子都不是肉眼能够看见的，

所有的昆虫都不是基本粒子，

所有的昆虫？

这个三段论得不出任何确定的结论。

规则5

(1）如果两个前提中有一个是否定的，那么结论是否定的；

(2）如果结论是否定的，那么必有一个前提是否定的。

关于（1)，如果两个前提中有一个是否定的，根据规则4，另一个前提必须是肯定的，这就意味着：大项和小项中有一个与中项发生肯定性的联系，另一个与中项发生否定性的联系。于是，与中项发生肯定性联系的那一部分和与中项发生否定性联系的那一部分之间的联系，必定是否定性的，所以结论必须是否定的。

关于（2)，既然结论是否定的，大项和小项之间发生否定性联系，并且这种联系是通过中项的媒介作用建立起来的，因此这两个词项中必定有一个与中项发生肯定性关联，另一个与中项发生否定性关联。所以，前提必有一个是否定的。

以上五条三段论规则是基本的，并且是足够的，用它们就足以把有效的三段论与无效的三段论区分开来。但为了明确和方便起见，有时还从它们证明、推导出一些规则，例如：

规则6 两个特称前提不能得结论。

证明：我们用反证法，即假设两个特称前提能够得结论，看能否从中推出矛盾或荒谬的结论。若能推出，说明该假设不成立。

设两个特称前提能够得结论，根据规则2，中项在前提中至少周延一次，由于特称命题的主项不周延，肯定命题的谓项不周延，只有否定命题的谓项周延，因此前提中必有一个是否定的。又根据规则5，前提有一个否定结论必否定，因此结论是否定的，结论的谓项即大项周延，再根据规则3，在前提中不周延的项在结论中不得周延，因此大项必须在前提中周延，因此另一个前提也必须是否定的。而根据规则4，两个否定前提不能得结论。这说明“两个特称前提能够得结论”这个假设不成立，所以，两个特称前提不能得结论。

规则7 如果两个前提中有一个特称，结论必然特称。

证明：我们用分情况证明法。两个前提中有一个特称，另一个必为全称。由于没有告诉我们这两个前提究竟是肯定的还是否定的，这说明它们分别有可能是肯定的，也有可能是否定的。于是，这两个前提有四种可能的组合：AI、AO、EI、EO。我们证明，在这四种情况下，如果能够得出结论，只能得出特称的结论。

AI：这两个前提中只有一个周延的项，根据规则2，中项在前提中至少周延一次，因此这个周延的项只能做中项，余下大项和小项在前提中不周延，因此根据规则，它们在给论中必须不周延，小项是结论的主项，只有特称命题的主项不周延，因此，结论必须是特称的。

AO：这两个前提中有两个周延的项，即全称命题的主项和否定命题的谓项，根据规则4，前提有一个否定，结论必否定。因此，大项在结论中周延；根据规则，大项在前提中必须周延；又根据规则，中项在前提中至少周延一次。于是，原来两个周延的项一个做大项，一个做中项，余下小项在前提中不周延，因此小项在结论中必须不周延，结论只能是特称的。

El ：其情形与 AO 相同，留给读者。

EO：两个否定前提不能得结论。证毕。

（三）三段论的特殊规则

一般规则适用于三段论的各个格，用这些规则就足以把4个格的有效三段论和无效三段论区别开来。但是，在把这些应用于各个格时，由于各个格有自己的特殊情况，就会推演、派生出只适用于本格的特殊规则。由于这些特殊规则的指令更加具体，因此更容易被执行；并且，从一般规则推演出这些特殊规则，也是一项有益的逻辑训练。

第一格规则：

(1）小前提必须肯定。

(2）大前提必须全称。

在证明这些规则之前，有必要先重申一下第一格的形式：中项是大前提的主项，小前提的谓项，即：

证明：

（1）假设小前提不是肯定的，而是否定的，因此结论必须否定，大项在结论中周延；因为大项必须在大前提中周延，因此大前提必须否定；加上原假设小前提否定，有两个否定前提，不能得结论。因此，如果要得结论，小前提不能否定，必须肯定。

(2）既然已经证明小前提必须肯定，于是中项在小前提中不周延，因此它必须在大前提中周延，因此大前提必须全称。

第二格规则：

(1）两个前提必须有一个否定。

(2）大前提必须全称。

在证明之前，同样有必要先重申一下第二格的形式：中项是大、小前提的谓项，即：

证明：

(1）在第二格中，中项是大、小前提的谓项，而中项至少要周延一次，并且只有否定命题的谓项周延，因此两个前提中必须有一个否定。

(2）已经证明两个前提中有一个否定，因此结论必须否定，大项在结论中周延，因此大项必须在前提中周延，而大项是大前提的主项，只有全称命题的主项才周延，因此大前提必须全称。

第三格规则：

(1）小前提必须肯定。

(2）结论必须特称。

根据第三格的形式，中项是大、小前提的主项，即：

证明：

（1）在第三格中，中项是大、小前提的主项。假设小前提否定，则结论否定，大项在结论中周延，因此它必须在前提中周延，大项是大前提的谓项，因此大前提必须否定。而两个否定前提不能得结论，因此，小前提不能否定，必须肯定。

（2）既然已经证明小前提必须肯定，小项在前提中就不周延，因此它在结论中就不能周延，而它是结论的主项，所以结论必须是特称的。

第四格规则：

(1）如果大前提肯定，则小前提必须全称。

(2）如果小前提肯定，则结论必须特称。

(3）如果有一个前提否定，则大前提必须全称。

(4）如果大前提特称，则两个前提都必须肯定。

(5）如果小前提特称，则大前提必须否定。

在证明这些规则之前，有必要先重申一下第四格的形式：中项是大前提的谓项，小前提的主项，即：

第四格规则（1)-(5）的证明是很容易的事情，我们把它们作为习题留给读者。

前面说过，三段论共有256个可能的式，根据如上给出的三段论规则，我们可以把大部分可能的三段论式作为无效式排除掉，例如，当前提的组合是EO或OE 等时，根据“两个否定前提不能得结论”的规则，所有带这种前提的三段论式如 EEA , EEI , EEO , EEE , EOA , EOI , EOO , EOE 等等都不可能是有效的，都应该被排除掉。类似地，当前提的组合为 l I, IO 或OI时，根据“两个特称前提不能得结论”的规则，所有带这种前提的三段论式如IIA、IIE、III、IIO、IOA、IOE、IOI、IOO等等都不是有效的，都应该被排除掉。当然，根据三段论的其他规则，还可以排除掉许多无效的三段论式，最后所剩下的三段论有效式只有24个，列表如下：

其中带星号的叫做“差等式”，意思是：在两个前提都是全称的情形下，本来可以得全称结论，却根据差等关系得出了特称结论。不过，差等式也属于256个可能的式之列。

（四）用欧拉图判定三段论的有效性

前面说过，欧拉图可以表示任意两个概念之间的外延关系，而直言命题只不过是对两个概念（主项或谓项）之间外延关系的一种断定，因此，可以用欧拉图去表示任一直言命题中主项和谓项之间的外延关系。而组成三段论的三个命题都是直言命题，因此，也可以用欧拉图去表示三段论中各个词项之间的外延关系。由于正确的三段论是一种必然性推理，前提的真足以保证结论的真，这一点表现在三段论图解中，就是：当已经图解两个前提中各词项之间的关系时，若结论中主项和谓项的关系已经被图解出来，那么，这个三段论就是一个有效推理，其前提的真足以保证结论的真；反之，当已经图解作为前提中各词项的关系时，结论中主项和谓项的关系还不确定，有多种不同的可能性，这就表明该结论不是从其前提逻辑地推导出来的，该三段论不是一个有效推理。例如：

以下两题基于下述共同的题干：

所有A地来B城打工人员，都办理了暂住证；所有办理了暂住证的人员，都获得了就业许可证；有些A地来B城打工人员当上了门卫；有些业余武术学校的学员也当上了门卫；所有的业余武术学校的学员都未获得就业许可证。

（1）如果上述断定都是真的，则除了以下哪项，其余的断定也必定是真的？

A ．所有A地来B城打工人员都获得了就业许可证。

B ．没有一个业余武术学校的学员办理了暂住证。

C ．有些A地来B城打工人员是业余武术学校的学员。

D ．有些门卫没有就业许可证。

E ．有些门卫有就业许可证。

(2）以下哪个人的身份，不可能符合上述题干所作的断定？

A ．一个获得了就业许可证的人，但并非是业余武术学校的学员。

B ．一个获得了就业许可证的人，但没有办理暂住证。

C ．一个办理了暂住证的人，但并非是A地来B城打工人员。

D .一个办理了暂住证的业余武术学校的学员。

E ．一个门卫，他既没有办理暂住证，又不是业余武术学校的学员。

可以用欧拉图把题干中各个词项之间的关系图示如下：

据此可以判定，问题（1）的答宰是 C，问题（2）的答案是 D 。又如：

所有杰出的舞蹈演员都是艺术家，有些杰出的画家是艺术家。因此，有些杰出的画家也是舞蹈演员。

从结构上说，这个三段论的形式是：有些 S 是 M ，所有 P 都是 M ，所以，有些S 都是 P 。为了判定它是否有效，我们来看其欧拉图的画法，至少有4种不同的画法：

这就说明：当两个前提为真时，结论中的主项 S 和谓项 P 可以处于各种不同的关系之中：没有 S 是 P ，或者，有些 S 是 P ，因此得不出任何确定的结论，把任一命题作为这个三段论的结论都不具有必然性：当前提真时，该结论却可能为假。再如：

鲁迅在《论辩的魂灵》一文中，这样揭露了顽固派的诡辩手法：“你说甲生疮，甲是C国人，就是说C国人生疮了。既然C国人生疮，你是C国人，就是你也生疮了。你既然也生疮，你就和甲一样。而你只说甲生疮，不说你自已，你的话还有什么价值？!”

在诡辩派的论辩中，有两个三段论，一个是：“甲生疮，甲是C国人，所以，（所有）C国人生疮。”这个三段论的形式是：M是 P , M 是 S ，所以，所有 S 都是P。可以用欧拉图揭示它的无效性：当前提真时，结论却为假。

如果诡辩派继续狡辩说：我并没有说“所有C国人生疮”，那么他所说的是“有些C国人生疮”，上面这个三段论就是正确的。但我们接着看第二个三段论：“（有些）C国人生疮，你是C国人，所以，你也生疮。”其形式是：有些 M 是 P ，S 是 M ，所以， S 是 P 。可以用欧拉图揭示它的无效性：当前提真时，结论可以为假。

总之，从诡辩派的前提“你说甲生疮”，无论如何也推不出他们的结论“你也生疮”来。他们的整个推论是不合逻辑的，是十足的诡辩。又如：

有人论证说：凡属C国政府管辖的都是C国人，某地人现在不受C国政府管辖，所以，某地人不是C国人。

以下哪一个推理凸显了上述推理的荒谬性？

A.所有技术骨干都刻苦学习，小张是技术骨干，所以，小张是刻苦学习的人。

B.商品都有使用价值，空气当然有使用价值，所以，空气当然是商品。

C.所有成功人士都要穿衣吃饭，我现在不是成功人士，所以，我现在不必穿衣吃饭。

D.犯罪行为都是违法行为，违法行为都应受到社会的谴责，所以，所有犯罪行为都应受到社会谴责。

E.所有的克里特岛人都说谎，约翰是克里特岛人，所以，约翰说谎。

题干中的论证是一个有如下结构的三段论：

所有的 M 都是 P

所有的 S 都不是 M

所以、所有的 S 都不是 P 。

可以用欧拉图验证，这是一个无效的三段论。选项 C 与题干中的推理具有相同的形式，但其前提真而结论假，所以凸显出题干中推理的荒谬性。其他各选项都与题干中的推理结构不同。答案是 C 。

（五）三段论的非标准形式

1．三段论的省略式

在日常思维中，由于某些命题属于交流双方共同的背景知识，故被省略，于是三段论表现为省略形式，常有下述三种省略形式：

（1）省略大前提。例如有人在谈到A国总统c的绯闻时说：“某c也是人，他也有七情六欲嘛。”他说的这两句话之间实际上有推理关系，而这种推理关系的建立需要补充另外一个大前提：“凡是人都有七情六欲。”

（2）省略小前提。例如“大学生的主要任务是学习而不是赚钱，所以你目前的主要任务也是如此，不要本末倒置啊！”这里一眼就可看出，省略的前提是”你是一名大学生”。

（3）省略结论。例如MZD说：“我们的事业是正义的，而正义的事业是不可战胜的。”显然，省略的是结论，“我们的事业是不可战胜的。”从修辞上说，把这个结论省略之后，使那两句话听起来余音缭绕，很有韵味。

但三段论的省略形式可能会出现问题，如被省略的前提实际上是不成立的，或者所使用的推理形式是无效的。在这两种情形下，结论都没有得到强有力的支持。因此，有时需要把省略三段论补充为完整的三段论，然后看其前提真不真，推理过程是否有效。在作这种补充时，往往存在多种选择，这时应该坚持“仁慈原则”，即尽可能地把推理者设想为一个正常的、有理性的人，除非故意，他一般不会使用虚假的前提，一般不会进行无效的推理。作这种补充的具体程序和方法是：

（1）査看究竟省略的是什么，是前提还是结论？通过考虑两个命题之间是并列关系还是推出关系，可以弄清楚这一点。

（2）如果省略的是前提，确定省略的是大前提还是小前提：含结论主项的是小前提，含结论谓项的是大前提。

（3）如果省略的是大前提，把结论的谓项（大项）与中项相连接，得到大前提；如果省略的是小前提，则把结论的主项（小项）与中项相连接，得到小前提。

（4）如果省略的是结论，把小项与大项相连接，得到结论。

做了所有这些工作之后，再来看被省略的前提是否真实，推理过程是否正确。

有些导演留大胡子，因此，有些留大胡子的人是大嗓门。

为使上述推理成立，必须补充以下哪项作为前提？

A ．有些导演是大嗓门。

B ．所有大嗓门的人都是导演。

C ．所有导演都是大嗓门。

D ．有些大嗓门的不是导演。

E ．有些导演不是大嗓门

如果补充 A 或 D 或 E 到题干，所构成的三段论的两个前提都是特称的，根据规则6，都推不出结论；如果补充 B 到题干，所构成的三段论犯了“中项两次不周延”的错误。而如果补充C到题干，得到的三段论是：

所有导演都是大嗓门，

有些导演留大胡子，

所以，有些留大胡子的是大嗓门。

这是有效三段论。所以，正确的答案是 C。

2．带证式三段论

在一个三段论中，其两个前提或其中之一可能本身还带有一个省略的三段论，该前提是该省略三段论的结论。例如：

所有哲学系的学生都必须学习逻辑学，因为思维严格、清晰对于搞哲学来说是十分重要的；所有哲学系的学生都是文科学生，所以，有些文科学生必须学习逻辑学。

这里，大前提本身带有一个证明，即一个省略的三段论，大前提就是这个省略三段论的结论，并且后者不太标准。经过整理和补充，这个省略三段论的完整形式是：

所有特别有助于训练严格与清晰思维的课程都是哲学系学生必学习的，

逻辑学是特别有助于训练思维的严格与清晰的课程，

所以，逻辑学是哲学系学生必须学习的课程。

3．复合式三段论

一连串三段论的复合，其中前一个三段论的结论构成后一个三段论的前提。例如：

所有音乐家都是演艺人员，

所有低音歌手都是音乐家，

所以，所有低音歌手都是演艺人员。

有些主唱是低音歌手，

所以，有些主唱是演艺人员。

没有火箭科学家是演艺人员，

所以，有些主唱不是火箭科学家。

4．连锁三段论

把复合三段论的一系列中间结论都省略掉，只保留最后一个总结论，则成连锁三段论。例如：

所有动物都是生物，

所有昆虫都是动物，

所有蜜蜂都是昆虫，

所以，所有蜜蜂都是生物。

据称，德国哲学家和逻辑学家莱布尼茨论证“人类灵魂不灭”时，就运用了包含下述10个前提的连锁三段论：

(1）人类灵魂是其活动是思维的东西；

(2）其活动是思维的东西是其活动被直接领悟、而不需要关于其部分的任何表象的东西；

(3）其活动被直接领悟、而不需要关于其部分的任何表象的东西是其活动不包含任何部分的东西；

(4）其活动不包含任何部分的东西是其活动不是运动的东西；

(5）其活动不是运动的东西就不是肉体；

(6）不是肉体的东西就不占空间；

(7）不占空间的东西就不受运动的影响；

(8）不受运动影响的东西就不分解，因为分解就是部分的运动；

(9）不分解的东西就不朽腐；

(10）不朽腐的东西就永恒不灭。

所以，人类灵魂永恒不灭。

这个推理带有10个前提，并且其中一个前提还带有省略的证明。不过，从形式上看，应该承认这个连锁推理是有效的，问题在于这10个前提是否都真实，如果有些前提不真实，究竟是哪些前提不真实？为什么？回答这些问题，是一项相当艰巨的任务，还是留给读者自己去思考吧。