主要内容

详细介绍求不定积分∫arctanxdx/(1+x)^3过程中用到的不定积分计算方法。

本题详细步骤如下：

A1=∫arctanxdx/(1+x)^3

=∫arctanxd(1+x)/(1+x)^3[①凑分法]

=(-1/2)∫arctanxd(1+x)^(-2)[②凑分法]

=(-1/2)arctanx/(1+x)^2+(1/2)∫(1+x)^(-2)darctanx[③分部积分法]

=(-1/2)arctanx/(1+x)^2+(1/2)∫dx/[(1+x^2)(1+x)^2]

设A2=(1/2)∫dx/[(1+x^2)(1+x)^2],

则：

A2=(1/4)∫[(x+2)/(1+x)^2-x/(x^2+1)]dx[④裂项分解法]

=(1/4)∫(x+1+1)dx/(x+1)^2-(1/4)∫xdx/(x^2+1)

=(1/4)∫dx/(x+1)+(1/4)∫dx/(x+1)^2-(1/8)∫dx^2/(x^2+1)

=(1/4)ln|x+1|+(1/4)∫dx/(x+1)^2-(1/8)ln(x^2+1)[⑤自然对数不定积分]

=(1/4)ln|x+1|-(1/4)/(x+1)-(1/8)ln(x^2+1)+C.[⑥幂函数不定积分]

=(1/8)ln[(x+1)^2/(x^2+1)]-1/[4(x+1)]+C.

即本题最终结果为：

A1=(-1/2)arctanx/(1+x)^2+A2

=(-1/2)arctanx/(1+x)^2+(1/8)ln[(x+1)^2/(x^2+1)]-1/[4(x+1)]+C.

本题是一个求不定积分的综合题目，从上述步骤看共用到了六种方法及公式。这也告诉我们，求不定积分的题目，一道题一般会使用多种方法得到不定积分的结果。