序

CRC的全称是循环冗余校验（Cyclic Redundancy Check），具体的描述可以参考：百度百科：CRC （循环冗余校验），地址为：https://baike.baidu.com/item/CRC/1453359

网上各种各样的讲CRC的内容够多了，本篇文章的目的在于用最简单的方式讲清楚CRC，重在科普、实战和应用，并给出代码实现，数学好的同学不要找我抬杠，谢谢！

CRC的本质是什么？

CRC的目的是保证数据的完整性，其方法是在发送数据的后面再增加多余的若干位数据，接收方使用同样的CRC计算方法，检查接收到的数据CRC是否为0：

如果为0，则表示数据是完整的，接收方可以开开心心的去处理这个数据。如果不为0，则表示数据不完整/出错，接收方就需要处理下这个数据（一般是丢弃/要求重发）。

那么CRC的核心算法就是如何通过一堆“发送数据”，来计算“多余的若干数据”。

CRC采用的策略是用除法求余数，这就是CRC算法的本质。

不同于十进制的除法运算，CRC用的是二进制的除法运算，二进制的除法运算，属于模二运算，模二运算的特点是：没有进位。

模二加法：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=0

模二减法：0-0=0 0-1=1 1-0=1 1-1=0

模二乘法：0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1

模二除法：是模二乘法的逆运算，参见下图示例

好了，这里我们先给一个例子，我们来计算0x1C的CRC8的校验结果：

如上图，在这个示例中：

CRC8的多项式是x8+x2+x+1，对应的除数就是二进制100000111被除数是0x1C，转化成二进制就是00011100CRC8为8位，被除数后面补8个0最后的计算结果是0x54

CRC的细节

在上一小节中，我们给出了一个简单的CRC8的例子，细心的同学可能看到了，这里面还有初始值，结果异或值，输入数据反转和输出数据反转，都是什么呢？

简单而言：

初始值是给CRC计算一个初始值，可以是0，也可以是其他值；结果异或值是把计算结果再异或某一个值；这么做的目的是防止全0数据的CRC一直为0。输入数据反转是指输入数据以字节为单位按位逆序处理；输出数据反转是指CRC计算结果整体按位逆序处理；这么做的目的我看到的一个合理解释是右移比左移更容易计算，效率高，它跟大小端无关。

我们再把上面CRC8的例子分解开来看，把CRC校验码如何计算的细节讲清楚：

第一步，我们列出除数，被除数。

第二步，CRC8的输入数据反转为False，所以0x1C仍然是：00011100。

第三步，CRC8补8个0。

第四步，CRC8先计算初始值（0x00），此时被除数保持不变。

第五步，进行模二除法运算，得到结果（0101 0100）。

第六步，CRC8的输出数据反转为False，所以计算结果仍然是：0101 0100。

第七步，CRC的输出异或值（0x00），结果保持不变，最终结果为0x54。

因为模二加减运算的特性，一般计算数包括全0时，步骤可以省略：

初始值为全0时，被除数不变。结果异或值为0时，结果不变。

如果大家学习过异或操作，可以看到模二加减法实际上就是异或操作，这也是CRC很容易在实际中应用的数学基础。

下面给出了其他的几个示例，包括了数据反转，初始化值和结果异或值，弄清楚了这些例子，CRC就完全搞清楚了。

CRC4-itu，多项式：x4+x+1，输入数据反转，输出数据反转，初始值0x00，输出异或值0x00。

0x1C的CRC4-itu校验码为0x2。

CRC16-modbus，多项式：x16+x15+x2+1，输入数据反转，输出数据反转，初始值0xFFFF，输出异或值0x0000。

0x1C的CRC16-modbus校验码为0x89EB。

CRC5-usb，多项式：x5+x2+1，输入数据反转，输出数据反转，初始值0x1F，输出异或值0x1F。

0x1C的CRC5-usb校验码为0x0D。

总结一下计算CRC的二进制除法过程：

如果输入数据反转为True，对输入数据按字节进行反转作为被除数；否则直接将输入数据作为被除数。被除数补0，CRC码为几位就补几个0，CRC4补4个0，CRC5补5个0，...，CRC32补32个0。如果初始值不为0，第一步计算需要先把被除数同初始值做模二加法运算（异或）。进行二进制除法运算，求得余数，得到结果。如果结果异或值不为0，那么最后的结果需要同结果异或值做异或运算。如果输出数据反转为True，那么最终的结果还需要按位进行反转。

最后给一个0x1C2D（2字节）的CRC4-itu示例，供参考。

CRC优化-crc表

由于CRC的计算过程中需要不停的循环做异或运算，占用CPU较多，算法上有一种空间换时间的做法：提前把0x00-0xFF共256个数据的CRC码提前算好保存，那么计算时可以节省CPU，这个提前算好的表叫CRC表（CRC表仅与多项式有关）。

这里特别需要说明下，为什么CRC表仅与多项式有关？

如果你理解了CRC的原理，会发现：输入初始值，输入数据反转，输出数据反转，结果异或值都是跟输入输出数据相关的，那么CRC表（指通用的CRC表）仅仅只与多项式（Poly）有关。

但我们在应用中受资源限制，一般会做一些处理，即：把输入数据反转和输出数据反转体现到CRC表中。

我们先来说说CRC表的生成示例，网上给的CRC16表一般是2种，一种最后两个分别是0x0ED1和0x1EF0，另外一种最后两个分别是0x8081和0x4040，实际上这两个分别对应的是CRC16/CCITT_FALSE和CRC16/MODBUS。

看懂了如上的计算原理，那么CRC表的原理就很清楚了；修改算法参数，就可以生成任意的CRC表。

下面给出常用的CRC16的示例和生成CRC的代码，供参考：

privatestaticushort[]crc16_table_0x1021=
{
0x0000,0x1021,0x2042,0x3063,0x4084,0x50A5,0x60C6,0x70E7,
0x8108,0x9129,0xA14A,0xB16B,0xC18C,0xD1AD,0xE1CE,0xF1EF,
0x1231,0x0210,0x3273,0x2252,0x52B5,0x4294,0x72F7,0x62D6,
0x9339,0x8318,0xB37B,0xA35A,0xD3BD,0xC39C,0xF3FF,0xE3DE,
0x2462,0x3443,0x0420,0x1401,0x64E6,0x74C7,0x44A4,0x5485,
0xA56A,0xB54B,0x8528,0x9509,0xE5EE,0xF5CF,0xC5AC,0xD58D,
0x3653,0x2672,0x1611,0x0630,0x76D7,0x66F6,0x5695,0x46B4,
0xB75B,0xA77A,0x9719,0x8738,0xF7DF,0xE7FE,0xD79D,0xC7BC,
0x48C4,0x58E5,0x6886,0x78A7,0x0840,0x1861,0x2802,0x3823,
0xC9CC,0xD9ED,0xE98E,0xF9AF,0x8948,0x9969,0xA90A,0xB92B,
0x5AF5,0x4AD4,0x7AB7,0x6A96,0x1A71,0x0A50,0x3A33,0x2A12,
0xDBFD,0xCBDC,0xFBBF,0xEB9E,0x9B79,0x8B58,0xBB3B,0xAB1A,
0x6CA6,0x7C87,0x4CE4,0x5CC5,0x2C22,0x3C03,0x0C60,0x1C41,
0xEDAE,0xFD8F,0xCDEC,0xDDCD,0xAD2A,0xBD0B,0x8D68,0x9D49,
0x7E97,0x6EB6,0x5ED5,0x4EF4,0x3E13,0x2E32,0x1E51,0x0E70,
0xFF9F,0xEFBE,0xDFDD,0xCFFC,0xBF1B,0xAF3A,0x9F59,0x8F78,
0x9188,0x81A9,0xB1CA,0xA1EB,0xD10C,0xC12D,0xF14E,0xE16F,
0x1080,0x00A1,0x30C2,0x20E3,0x5004,0x4025,0x7046,0x6067,
0x83B9,0x9398,0xA3FB,0xB3DA,0xC33D,0xD31C,0xE37F,0xF35E,
0x02B1,0x1290,0x22F3,0x32D2,0x4235,0x5214,0x6277,0x7256,
0xB5EA,0xA5CB,0x95A8,0x8589,0xF56E,0xE54F,0xD52C,0xC50D,
0x34E2,0x24C3,0x14A0,0x0481,0x7466,0x6447,0x5424,0x4405,
0xA7DB,0xB7FA,0x8799,0x97B8,0xE75F,0xF77E,0xC71D,0xD73C,
0x26D3,0x36F2,0x0691,0x16B0,0x6657,0x7676,0x4615,0x5634,
0xD94C,0xC96D,0xF90E,0xE92F,0x99C8,0x89E9,0xB98A,0xA9AB,
0x5844,0x4865,0x7806,0x6827,0x18C0,0x08E1,0x3882,0x28A3,
0xCB7D,0xDB5C,0xEB3F,0xFB1E,0x8BF9,0x9BD8,0xABBB,0xBB9A,
0x4A75,0x5A54,0x6A37,0x7A16,0x0AF1,0x1AD0,0x2AB3,0x3A92,
0xFD2E,0xED0F,0xDD6C,0xCD4D,0xBDAA,0xAD8B,0x9DE8,0x8DC9,
0x7C26,0x6C07,0x5C64,0x4C45,0x3CA2,0x2C83,0x1CE0,0x0CC1,
0xEF1F,0xFF3E,0xCF5D,0xDF7C,0xAF9B,0xBFBA,0x8FD9,0x9FF8,
0x6E17,0x7E36,0x4E55,0x5E74,0x2E93,0x3EB2,0x0ED1,0x1EF0,
};

生成CRC表的代码如下：

privatestaticushort[]generate_crc16_table(ushortpoly)
{
ushortcrc;
ushort[]table=newushort[256];
for(intindex=0;index<256;index++)
{
crc=(ushort)(index<<8);
for(inti=0;i<8;i++)
{
if((crc&0x8000)!=0)
{
crc=(ushort)((crc<<1)^poly);
}
else
{
crc=(ushort)(crc<<1);
}
}
table[index]=crc;
}
returntable;
}

代码地址

gitee地址：https://gitee.com/anyangchina/crc_all

参考文献

http://www.sunshine2k.de/articles/coding/crc/understanding_crc.htmlhttp://users.ece.cmu.edu/~koopman/pubs/KoopmanCRCWebinar9May2012.pdfhttp://srecord.sourceforge.net/crc16-ccitt.htmlhttps://reveng.sourceforge.io/crc-catalogue/all.htm