本文讲述如何用python的sympy、scipy工具包，求函数的二阶导数及 n 阶导数，文中代码和截图都选自Jupter notebook编辑环境。

先导入必要的工具包：

import sympy as smp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import scipy as sp
from scipy.misc import derivative

把数值变量 x 定义为符号：

x = smp.symbols('x')

例1（如图1），求f(x)和g(x)的一阶导数和二阶导数

图1说明：截图包括两行cell，都为markdown类型；上面一行为 函数表达式的显示形态，下面一行为函数表达式的输入形态。在输入状态行，按Ctrl + Enter键运行该行cell，即可显示上一行内容。

用python自定义函数表述函数f(x)和g(x)：

def f(x): return x**4+3*x**2 
def g(x): return -x**4-3*x**2

求例 1 中f(x)和g(x)的一阶导数：

# 定义函数
def df(x): return 4*x**3+6*x
def df(x): return -4*x**3-6*x

df(1)
-10   (x =1, df(1) 的计算结果)

dg(-0.2)
1.2320000000000002    (x = -0.2, dg(-0.2) 的计算结果)

求例 1 中f(x)和g(x)的二阶导数：

def ddf(x): return 12*x**2+6
def ddg(x): return -12*x**2-6

ddf(1)
18  (当x =1时, ddf(x)的计算结果)

ddg(-0.2)
-6.48 (当x = -0.2时, ddg(x)的计算结果)

例2（如图2），求f(x)的一阶导数和二阶导数

图2说明：（见图1说明）

定义函数：

  def f(x): return 5*x**3 - 3*x

求例题 2 中f(x)的一阶导数：

x =  smp.symbols('x')
smp.diff(f(x),x)

#(计算结果如下)
15x*x -3 

求例题 2 中f(x)的二阶导数：

smp.diff(f(x),x,2)

#(计算结果如下)
30x

例3，求f(x)的 n 阶导数

例3-1：求f(x) = sin(x) 的 n 阶导数

def f(x): return smp.sin(x)

d3f = smp.diff(f(x), x, 3)  # 其中的 3 ，表示求 3 阶导数
d3f
#（计算结果）
-cos(x) 

d4f = smp.diff(f(x), x, 4)  # 其中的 4 ，表示求 4 阶导数
d4f
#（计算结果）
sin(x)

有些函数很复杂，即使函数表达非常明确，但是人工求解这类函数的 n 阶导数很难, 如例 3-2。

例3-2（如图3），求f(x)的 n 阶导数

图3说明：（见图1说明）

定义符号

x, a, b, c = smp.symbols('x a b c', real=True)

定义例 3-2 中f(x)计算表达式的函数

def f(x):
      return smp.exp(-a*smp.sin(x**2)) * smp.sin(b**x) * smp.log(c*smp.sin(x)**2 /x)

求例 3-2 中f(x)的 4 阶导数

d4f = smp.diff(f(x), x, 4)
d4f

计算结果略去，非常复杂啊！

给定x, a, b, c的值，计算例 3-2 中f(x)的4阶导数的值

d4f.subs([(x,0.5),(a,1),(b,2),(c,3)]).evalf()

(计算结果)
−34.8746096991241