一、函数作图步骤

（1）求出函数的定义域

（2）考察函数奇偶性、增减性

（3）求出方程f'(x)=0的根以及使f'(x)不存在的点，列表判别函数的增减区间与极值点

（4）求出方程f''(x)=0的根，列表确定函数凹凸性与拐点

（5）求出函数的渐近线

（6）计算几个点的函数值，画出图形

二、渐近线

1、水平渐近线

若：lim(x->∞)f(x)=A, 称y=f(x)有水平渐近线y=A

2、铅直渐近线

若：lim(x->a)f(x)=∞, 称y=f(x)有铅直渐近线x=a

3、斜渐近线

若：lim(x->∞)[f(x)/x]=a (≠0,∞)

lim(x->∞)[f(x)-ax]=b, 称y=ax+b为函数的斜渐近线

例1：求y=[(x^2-3x+2)/(x^2-1)]的渐近线
lim(x->∞)f(x)=1, 所以y=1为水平渐近线
lim(x->-1)f(x)=∞,所以x=-1为铅直渐近线
lim(x->1)f(x)=lim(x->1)[(x-2)/(x+1)]=-1/2, x=1不是铅直渐近线

例2：求y=(x^3-x)/(x^2-x-2)的渐近线
lim(x->∞)y=∞, 所以没有水平渐近线
lim(x->-1)y=-2/3, 所以x=-1不是铅直渐近线
lim(x->2)y=∞, 所以x=2是铅直渐近线
lim(x->∞)y/x=1, lim(x->∞)(y-x)=1
所以y=x+1为斜渐近线

三、弧微分

Δs是函数图像上的一段线，对应长度是点(x0,y0)到点(x0+Δx,y0+Δy)的那段曲线，在微观情况下：(Δs)^2≈(Δy)^2+(Δx)^2

=>(ds)^2=(dx)^2+(dy)^2

=>ds=√[(dx)^2+(dy)^2]，ds称为弧微分或者弧元素

扩展：

ds=√[(dx)^2+(dy)^2]

=√[1+(dy/dx)^2]dx

=√[1+f'(x)^2]dx

即ds=√[1+f'(x)^2]dx

四、曲率

对于一段曲线，任取两个点，作这两点的切线，这两条切线形成的夹角为Δα弧长为MN

现对两个不同函数图像分别取两点，对这两点作切线。

因素1：若Δα相同，弧长MN不同，则弯曲度与两点之间弧长成反比

因素2：若弧长相同，Δα不同，则弯曲度与Δα成反比

y=f(x)

弧长MN=Δs

则平均曲率k(拔)=(|Δα|/|Δs|)

函数图像弯曲度称为曲率

（1）曲线y=f(x)，则曲率k=|y''/(1+y'^2)^(3/2)|

（2）曲线x=x(t),y=y(t),则曲率K=|(y''tx't-x''ty't)/(x't^2+y't^2)^(3/2)|

曲率半径：ρ=1/k