在上两篇文章《《几何原本》是如何只用尺规作正五边形（1）？》、《如何只用尺规快速作圆的内接正五边形？》中，我介绍了《几何原本》中二倍角三角形作图原理以及《几何原本》是如何只用尺规作圆的内接正五边形的。这一讲，我将向大家介绍《几何原本》第4卷“与圆有关的直线图形的作法”中的第12个命题，该命题讲的是如何只用尺规作已知圆的外切正五边形。以下是作图的原理及整个作图过程：

命题12:作给定圆的外切正五边形，该五边形等边且等角。

已知ABCDE是给定圆。

目标:作圆ABCDE的外切等边且等角的五边形。

证明:

1、设A、B、C、D、E五点是圆ABCDE的内接正五边形的顶点（第4卷 命题11），于是弧AB、BC、CD、DE和EA彼此相等。

2、分别过点A、B、C、D、E作圆的切线GH、HK、KL、LM、MG。

3、作圆ABCDE的圆心F。（第3卷 命题1）

4、连接FB、FK、FC、FL和FD。

5、因为KL与圆相切于C，FC是圆心F和切点C的连线，所以FC垂直于KL。（第3卷 命题18）

6、于是C处的角是直角，同理，B处和D处的角也是直角。

7、因为角FCK是直角，所以以FK为边长的正方形面积等于以FC、KC为边长的正方形面积之和。（第1卷 命题47）

8、同理，以FK为边长的正方形面积等于以FB、BK为边长的正方形面积之和。

9、所以以FC、KC为边长的正方形面积等于以FB、BK为边长的正方形面积之和。

10、因为FC=FB，所以以FC为边长的正方形面积等于以FB为边长的正方形面积，于是余下的以KC为边长的正方形面积等于以BK为边长的正方形面积。

11、所以BK=KC。

12、因为BK=CK、FB=FC，FK=FK，所以三角形FBK与三角形FCK全等，所以角BFK=角CFK、角BKF=角CKF。（第1卷 命题8）

13、所以角BFC是角KFC的2倍，角BKC是角FKC的2倍。

14、同理，角CFD是角CFL的2倍，角DLC是角FLC的2倍。

15、因为弧BC=弧CD，所以角BFC=角CFD（第3卷 命题27），于是角KFC=角LFC。

16、因为角KFC=角LFC，CF=CF，角FCK=角FCL，所以三角形KFC与三角形LFC全等，于是KC=LC，角FKC=角FLC。（第1卷 命题26）

17、因为KC=LC，所以KL=2LC。

18、同理，HK=2BK。

19、因为BK=KC，KC=LC，所以HK=KL。

20、相似地，可证HG=GM=ML=HK=KL。

21、因为角FKC=角FLC，角HKL=角BKC=2角FKC，角KLM=角DLC=2角FLC，所以角HKL=角KLM。

22、相似地，可证角GHK=角HKL=角KLM=角LMG=角MGH。

23、所以五边形GHKLM是正五边形，且外切于圆ABCDE。

证明完毕。

以下是作图过程：

步骤1：已知任意给定圆。

步骤2：作任意一条直线，与已知圆相交于a、b。

步骤3：以a为圆心，ab为半径作圆，以b为圆心，ba为半径作圆。

步骤4：连接两圆（浅蓝色）的交点，延长并与已知圆相交于c、d。

步骤5：去除多余的辅助线。

步骤6：以c为圆心，cd为半径作圆，以d为圆心，dc为半径作圆。连接两圆交点并与cd交于F，与已知圆交于A。

步骤7：去除多余辅助线，此时F是已知圆圆心。

步骤8：以d为圆心，dF为半径作圆，两圆相交于e、f。连接ef，ef与Fd相交于g，此时g是Fd中点。

步骤9：连接gA，去除多余辅助线。

步骤10：以g为圆心，gA为半径作圆，圆与cg相交于i。

步骤11：去除多余辅助线。

步骤12：以A为圆心，Fi长度为半径作圆，圆（浅蓝色）与已知圆相交于N。

步骤13：连接FN、AN，去除多余辅助线，此时角F=36°，角A=角N=72°。

步骤14：以N为圆心，NA为半径作圆（浅蓝色）与圆（黑色）相交于B点，连接NB、FB、AB，此时角AFB=2角AFN=72°

步骤15：分别以A、B为圆心，AB、BA为半径作圆（浅蓝色），与圆（黑色）相交于E、C，连接AE、BC。

步骤16：以E为圆心，EA为半径作圆（浅蓝色）与圆（黑色）相交于D，连接DE、DC，去除多余辅助线。

步骤17：去除多余辅助线，连接FB，此时ABCDE是圆的内接正五边形。

步骤18：延长FB，以B为圆心，任意长度为半径作圆与FB所在直线相交于e、f。

步骤19：以e为圆心，ef为半径作圆，以f为圆心，fe为半径作圆，两圆相交于1、2，连接1和2。

步骤20：连接FA并延长，以A为圆心，任意长度为半径作圆与FA所在直线相交于h、j，去除多余辅助线。

步骤21：以h为圆心，hj为半径作圆，以j为圆心，jh为半径作圆，两圆相交于3、4，连接3和4。

步骤22：连接FE并延长，以E为圆心，任意长度为半径作圆与FE所在直线相交于k、m，去除多余辅助线。

步骤23：以k为圆心，km为半径作圆，以m为圆心，mk为半径作圆，两圆相交于5、6，连接5和6。

步骤24：连接FD并延长，以D为圆心，任意长度为半径作圆与FD所在直线相交于n、o，去除多余辅助线。

步骤25：以n为圆心，no为半径作圆，以o为圆心，on为半径作圆，两圆相交于7、8，连接7和8。

步骤26：连接FC并延长，以C为圆心，任意长度为半径作圆与FC所在直线相交于p、q，去除多余辅助线。

步骤27：以p为圆心，pq为半径作圆，以q为圆心，qp为半径作圆，两圆相交于9、10，连接9和10。

步骤28：去除多余辅助线，此时1与2、3与4、5与6、7与8、9与10连线与圆相切于B、A、E、D、C。

步骤29：两端延长1与2、3与4、5与6、7与8、9与10连线，连线相互交于H、G、M、L、K。

步骤30：去除多余辅助线，连接FD、FL、FK、FB，此时MLKHG是已知圆ABCDE的外切正五边形。

好了，这一讲就到这了。

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