新课标中明确要求：用代数式表示数量关系及所反映的规律，发展学生的抽象思维能力。根据一列数或一组图形的特例进行归纳，猜想，找出一般规律，进而列出通用的代数式，称之为规律探究。在历年的中考或学业水平考试中屡见不鲜，频繁考查，考生大都感到困难重重，无从下手，导致丢分。解决此类问题的关键是：“细心观察，大胆猜想，精心验证”。 笔者认为：只要善于观察，细心研究，知难而进，就会走出“山穷水尽疑无路”的困惑，收获“柳暗花明又一村”的喜悦.尤其利用下文提出差分模型，可以秒杀一些规律探究问题。

1.引例

由n³(n=2，3，…)个单位正方体可以组成一个体积为n×n×n的正方体(如图1，由5³个单位正方体组成一个体积为5×5×5的正方体)，将它的表面涂漆后，再把它分解成原来的单位正方体。问有多少个单位正方体三面涂漆？有多少个两面涂漆？有多少个一面涂漆？有多少个没有涂漆？

　分析：我们可以通过观察n=2，3，4，5，6…的特例，编排数表，寻找模式。

从表1可以发现，对任一个n(n=2，3，4，…)，3面涂漆的单位正方体的个数都是8，而且这8个单位正方体恰好位于n×n×n的正方体的顶点处。进一步观察，又将发现，2面涂漆的单位正方体都位于大正方体的12条棱处。对于n=3，每条棱上恰有1个，所以共有12个；对于n＝4，每条棱上恰有2个，所以共有2×12=24个……同样，1面涂漆的单位正方体都位于大正方体的6个面上，而不在大正方体表面的单位正方体都没有涂漆。由以上规律，我们将很容易给出问题的解。

解：因为只有在n×n×n的正方体的8个顶点处的单位正方体才是3面涂漆的，所以共有8个单位正方体3面涂漆。因为只有在n×n×n的正方体的12条棱处且不在顶点处的单位正方体才是2面涂漆的，所以共有12(n-2)个单位正方体2面涂漆。同样，1面涂漆的单位正方体都位于n×n×n的正方体的6个面上且不在12条棱处，所以共有6(n-2)2 个单位正方体1面涂漆。余下的(n-2)³个单位正方体都没有涂漆。

2.差分模型的构建

观察n=2，3，4，…时，3面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表1的第3列)，2面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表1的第4列)，1面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表1的第5列)，0面涂漆的单位正方体的个数所组成的数列(表1的第6列)，我们发现，第1个数列8，8，8，8，8…是一个常数列，而第2个数列0，12，24，36，48，…有什么性质呢？如果我们把这数列的每一项去减它右边的项。

　　0—12—24—36—48…

　　↓ ↓ ↓ ↓

　　12 12 12 12…

　　就得到一个新的数列12，12，12，12…，它也是一个常数列。

　　如果我们把第3个数列0，6，24，54，96，…的每一项去减它右边的项，

0—6—24—54—96…

　 ↓ ↓ ↓ ↓

　6 18 30 42…

　　得到一个新的数列6，18，30，42，…，再把这数列的每一项去减它右边的项，再次得到一个常数列12，12，12，…。

　给定一个数列｛an｝=｛a0，a₁，a₂，…，an，…｝，我们把

bn＝an+1—an

叫做数列｛an｝的差分，把数列｛bn｝=｛a₁-a0，a₂-a₁，…，an-an-1，…｝叫做｛an｝的一阶差分数列，把数列｛bn｝的一阶差分数列｛b2-b1，b3-b2，…，bn+1-bn，…｝叫做｛an｝的二阶差分数列，再把｛an｝的二阶差分数列的一阶差分数列叫做｛an｝的三阶差分数列，依次类推。

　有了差分数列的概念后，再看上述问题所得到的4个数列，就会发现这样的规律：

　第2个数列0，12，24，36，48，…，12(n-2)，…的一阶差分数列

12，12，12，12，…

是非零的常数列，它的通项12(n-2)为n的1次多项式；第3个数列

0， 6， 24， 54， 96，…， 6(n-2)²，…

的二阶差分数列也是非零的常数列，它的通项6(n-2)2为n的2次多项式；

对于第4个数列0， 1， 8， 27， 64， 125， 216，…，(n-2)³ ，…，

它的通项(n-2)3为n的3次多项式，那么是否它的三阶差分数是一个非零的常数列呢？

　可以看到，第4个数列的三阶差分数列是一个非零的常数列。

　一般地，数列｛an｝的k阶差分数列为非零的常数列的充要条件是它的通项an为n的k次多项式。

　利用上述结果，我们可以从一个数列的前若干项来猜测它的通项。因为数列｛an｝的通项an不一定是n的k次多项式，而用计算差分所猜测的通项只能是n的多项式，所以对猜测的结果必须加以证明。例如，

我们从上述的第4个数列的前7项0，1，8，27，64，125，216，发现它的三阶差分数列是一个非零常数列6，6，6，6。于是，我们立即可以猜测它的通项是n的3次多项式，设为an=an3+bn2+cn+d

　这样就可以用待定系数法求出a，b，c，d，因为

　　a2＝2³·a+2²·b＋2c+d＝0

　　a3=3³·a＋3²·b+3c+d＝1

　　a4=4³·a＋4²·b＋4c＋d＝8

　　a5＝5³·a＋5²·b+5c＋d＝27

　所以由解上述方程组可得a=1，b=-6，c=12，d=-8

于是，我们从表1的前若干项，用差分的方法，可以猜测第4个数列的通项为

an=n³-6n²+12n-8=(n-2)³

因此，可以猜测，一个表面涂漆的体积为n×n×n的正方体中有(n-2)3个单位正方体没有涂漆。同样，据观察n=2，3，4，5，6的特例，直接利用差分方法，可以猜测，2面涂漆的有12(n-2)个，1面涂漆的有6(n-2)2个。

　根据一个数列｛an｝的前若干项，利用差分方法，猜测它的通项。在通项an恰是n的多项式时，这确是一个有效的方法。因为从所猜测的结果可以受到某些启示，帮助我们最终解决问题。

3.应用举例

例1.（2019•山西模拟）用形状和大小相同的♣按如图所示的方式排列，按照这样的规律，第n个图形有______个

【解析1】首先要从简单图形入手，抓住随着"编号"或"序号"增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．第一个图需♣3+1=4；第二个图需♣3×2+1=7；第三个图需♣3×3+1=10；…第n个图需♣（3n+1）枚．

故答案为：（3n+1）．

【解析2】利用差分模型可知，可构成图形个数的数列4,7,10，……，为一阶差分数列，可设为an= cn+d，利用待定系数法，由(2,7),(3,10)代入an= cn+d可得7=2c+d, 10=3c+d，解得c=3,d=1, 所以an=3n+1。

例2.（2019春•宣城期末）如图，图（1）、图（2）、图（3）、图（4）分别由若干个点组成，照此规律，若图（n）中共有129个点，则n=（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

【解析1】常规解法

【解析2】利用差分模型可知，可构成图形个数的数列3,9,17，27，……，为二阶差分数列，可设为an=bn²+cn+d，利用待定系数法，由(1,3),(2,9)，(,3,17)代入an=bn²+cn+d可得3=b+c+d, 9=4b+2c+d，17=9b+3b+d,解得b=1,c=3,d=-1, 所以an=n²+3n+1。

例3.顺次计算数列1²，1²＋2²，1²＋2²＋3²，1²＋2²＋3²＋4²，1²＋2²＋3²＋4²＋5²，1²＋2²+3²+4²＋5²＋6²，…的前6项的值，由此猜测an=1²＋2²+…＋n²

解析：根据1²=1，1²＋2²=5，1²＋2²＋3²=14，1²＋2²＋3²＋4² =30，1²+2²+3²＋4²＋5²=55，1²＋2²＋3²+4²＋52+6²=91，计算数列1，5，14，30，55，91，…的差分

　由于三阶差分数列是非零的常数列，所以猜测an是n的3次多项式an³＋bn²＋cn＋d，利用待定系数法，还可进一步求出a，b，c，d的值：

　解四元一次方程组

　　得

　　因此，可以猜测

　　即

有了上式的猜测，如果我们学过数学归纳法，就可以用数学归纳法证明(1)式对任何的自然数n都成立。

说明：差分是"计算方法"(数学的一个分支)中的一个重要概念，而计算方法所研究的数学问题的求解算法是与计算机密切相关的。虽然差分非常有用，但这里就不再进一步介绍了。