主要内容：

本文用直接计算法，介绍求解函数z=x^3y^2-xy^3+xy+1的所有一阶、二阶、三阶偏导数的主要步骤。

一阶偏导数：

dz/dx=y^2*3x^2-y^3+y=3x^2y^2-y^3+y,

dz/dy=x^3*2y-x*3y^2+x=2yx^3-3xy^2+x。

二阶偏导数：

∵dz/dx=3x^2y^2-y^3+y,

∴d^2z/dx^2=3y^2*2x-0+0=6xy^2,

d^2z/dxdy=3x^2*2y-3y^2+1=6yx^2-3y^2+1;

∵dz/dy=2yx^3-3xy^2+x，

∴d^2z/dy^2=2x^3x*2y+0=2x^3-6xy,

d^2z/dydx=2y*3x^2-3y^2+1=6yx^2-3y^2+1。

三阶偏导数

∵d^2z/dx^2=6xy^2，

∴d^3z/dx^3=6y^2，

d^3z/dx^2dy=6x*2y=12xy①；

∵d^2z/dxdy=6yx^2-3y^2+1，

∴d^3z/dxdydx=d^3z/dx^2dy=6y*2x-0=12xy②,

d^3z/dxdydy=6x^2-3*2y=6x^2-6y③；

∵d^2z/dy^2=2x^3-6xy,

∴d^3z/dy^3=0-6x=-6x,

d^3z/dy^2dx=2*3x^2-6y=6x^2-6x④;

∵d^2z/dydx=6yx^2-3y^2+1，

∴d^3z/dydxdx=6y*2x-0=12xy⑤,

d^3z/dydxdy=6x^2-3*2y=6x^2-6y⑥。

可见：①=②=⑤，③=④=⑥。