高斯积分在科学、统计学和概率论中经常出现。事实上，如果熟悉统计学中的正态分布（也被称为 "贝尔曲线"），那么你可能知道什么是高斯函数。

高斯积分本质上是高斯函数下的面积。本文将研究高斯函数下的总面积是多少，这意味着我们将计算一个无限域的积分，并将这个结果应用于高斯函数的多种变化。

最简单的高斯积分的形式是：

式1：高斯积分结果

参数a用来控制高斯分布的 "宽窄 "程度。高斯分布的中心是x = 0，它有以下特性：a越小，高斯分布越“宽”，a越大，高斯分布越 "窄"。从这个结果来看，比较令人惊讶的是，总面积是：

我们也许会猜想它与a成反比，因为高斯分布的宽度会影响面积，但是为什么π会出现在这里呢？为了弄清楚这个问题，我们将从二维的角度来处理这个问题。

一个技巧：转换为极坐标

首先，让我们把积分写成：

我们也可以用不同的变量来表示，比如用y：

将两者相乘，我们可以得到：

这里我们可以做一个简化处理。首先，我们注意到，根据福比尼的积分定理（Fubini’s theorem of integration），如果一个双积分有常数（或与变量无关的）极限，我们可以将两个积分的乘积合并为一个双积分，即：

在这个的例子中是：

现在，看一下指数项，我们注意到有平方和。根据勾股定理，们可以将另一个变量写为：

其中r是三角形的斜边。在极坐标下，r是圆的半径。同样地，我们可以定义一个相对于正X轴的角度。利用这两个新变量，我们可以对积分进行变换。然而，这还不够。积分的极限肯定会改变，因为在笛卡尔坐标系中，积分的定义域是一个长为无穷大的矩形边（因为在x和y上从负无穷到正无穷积分），在极坐标中会是什么样子？

那么，肯定也会有一个无限的域。然而，有一些限制：半径r根据定义被限制在[0,∞]内，因为半径不能是负的。其次，角度被限制在[0,2π]。因此，极坐标下的积分是不同的。

另外需要注意的是，从直角坐标转换为极坐标时，无穷小的增量dx和dy也将发生变化。事实上，由于两者的乘积是一个 "无限小的矩形区域"，当我们将这个矩形转换为极坐标时，我们应该得到：

其中d是一个无穷小的弧长，dr是半径方向的无穷小变化。将所有这些结合起来，我们的积分就变成了：

这里，我们可以用换元法求解内积分：

得到：

这就是I^2的值，所以现在为了得到我们想要的积分值，我们只需取两边的平方根，从而得到所需的结果：

扩展

我们还可以用不同的形式来研究高斯积分。例如，考虑：

这稍微有点复杂，但我们可以这样来求解：

也可以把它写成：

其中：

得到：

因此：

这里，我们可以做一个替换：

这样：

利用公式1的结果：

因此，结果是：

方程2：形式为ax^2+bx的高斯积分

有趣的是，同样的过程也可以用于得到下面的结果：

方程3：形式为ax^2+bx+c的高斯积分

如前所述，高斯积分有多种用途。其中最常见的是在统计学中的正态分布中，实际上一个连续随机变量X的点的分布是高斯分布：X的大多数随机样本将落在均值E[X]附近，方差Var[X]决定高斯分布的宽度或狭窄程度。因此，Var[X]越大，点的分布越广。